[分享]振型的数学意义 （The Mathematical Meaning of Mode 

作者：Swilder 时间: 2014-12-26 00:00 阅读: 次大中小

我们已经知道了振型(Mode Shapes）的重要性，以及如何画出正确的振型。今天，我们再从数学(Mathematical)的角度来进一步理解振型。首先来看一下振型是如何求得的。

多自由度体系的自由运动方程(Equation of Motion of MDOF System)形式为，

其中，[M]为质量矩阵(Diagonal)，[K]为刚度矩阵(Tridiagonal)，{x}为结构的位移向量。

上述方程解的格式应为：

表示振动幅值，即振型的数值。ω为频率。将上式进行两次求导后可得到

换句话讲，如果把结构体系各个质点的响应用空间的一个点来表示，振型表示的是坐标轴的方向。既然振型表示的是方向，因此振型向量中的各个元素的具体数值不重要，重要的是各个元素始终保持一定的比例，例如，向量{1 0}和向量{2 0}都表示一个振型向量。

如果结构各层的响应用一个空间的点来对应，则点的位置是依赖于坐标系的选择的。例如下图中，若A点的坐标表示一个二层结构每层的响应。在坐标系xoy中，x轴坐标x1表示1层的响应,y轴坐标y1表示第二层结构的响应。在坐标系x'oy'中，ox'和oy'的方向分别表示振型向量，x’轴坐标x1'表示结构第1振型的响应所占的比重,y'轴坐标y1'表示结构第2振型响应占的比重。因此，x1'和y1'也被称为振型坐标。平面上所有点的位置，都可以用xoy坐标系来表示，也可以用x'oy'坐标系来表示。因此，结构的响应可以用自然坐标来表示，也可以用振型坐标来表示。